Ландау и номера

Человеком Дау, как его называли близкие, был разносторонним и увлекался не только физикой. Так, среди коллег получила большое распространение игра в автомобильные номера. Попробуйте без калькулятора и даже листка бумаги и карандаша уследить за полетом этой математической мысли.

Друзья знаменитого физика, нобелевского лауреата Льва Давидовича Ландау (1908—1968) вспоминают, что, путешествуя в автомобиле, он часто предлагал своим спутникам игру в номера автомашин, которую сам и придумал. В то время номера машин состояли из двух букв и еще двух пар цифр. Нужно было найти математические действия, которые позволили бы приравнять обе пары цифр. Для этого нужно подобрать и вставить в каждую пару цифр подходящие знаки действий и символы элементарных функций: +, —, :, х, √, log, lg, sin, cos, tg, ctg, sec, cosec, факториал (напомним, что факториал — знак произведения последовательности натуральных чисел 1·2·3·...·n = n!). Между обеими парами цифр необходимо вставить знак равенства.

Например, вас обгоняет автомобиль с номером 71 — 15. Вы тут же сообщаете спутникам: ⁷√1 = 1⁵. Это очень легкий номер. А вот номер посложнее: 53 — 41. Приравнять его можно с помощью факториала:

—(5—3!)= √4—1.

Еще пример: 75—33; равенство из него: 7—5=log_√33. Обратите внимание, здесь применен способ получить 2 с помощью логарифма; этот прием можно использовать для любой пары одинаковых цифр начиная с 22.

Конечно, сегодняшний школьник может предложить продифференцировать числа в номере, стоящие по обе стороны черточки: производная от постоянной величины равна нулю. Однако это запрещено правилами игры Ландау: дифференцирование — действие из высшей математики. К тому же такой тривиальный способ решения лишил бы игру всякого интереса.

Навык находить равенства приобретается довольно быстро. И возникает неизбежный вопрос: все ли номера можно «решить»? Такой вопрос и задал М. И. Каганов академику Ландау. И получил ответ: «Нет, не все». «Вы доказали теорему несуществования решения?» — спросил Каганов. «Нет, но не все номера у меня получаются, — ответил Ландау. — Например, номер 75—65».

Далее  он заинтересовал игрой харьковских физиков и математиков. Один из математиков (имя которого, к сожалению, не сообщается) отнесся к игре серьезно. Он вывел формулу универсального решения задачи: √N+1=secarctg√N. Суть формулы: любое натуральное число можно выразить через число, на единицу меньшее, используя только знаки элементарных функций, не содержащие цифр. Формулу можно применять неоднократно, вплоть до получения равенства.

Для вывода этой формулы необходимо знать, что 1) tg arctg x = x, 2) 1/cos²x = tg²x+1. Проделаем следующие тождественные преобразования: N+1 = (√ N)²+1 = tg²arctg√N+1 = 1/cos²arctg√N = sec²arctg√N. Извлекая корень N+1 слева и из секанса в квадрате справа, получаем окончательную формулу.

Заметим, что вот уже более двадцати лет как из школьной тригонометрии исключили секанс и косеканс. Нынешние школьники не знают, что sec х = 1/cos х, cosec х = 1/sin х, и обходятся без них. В игре Ландау нельзя, однако, обойтись без секанса, так как выражение его через косинус содержит 1 в числителе, что запрещено правилами игры.

Разумеется, полученная формула не может рассматриваться как практическое средство ведения игры, поскольку она наносит смертельный удар по игре как таковой. Строго говоря, нужно ввести в правила игры пункт, запрещающий применение универсальных формул. Но их поиск можно рассматривать в виде самостоятельной математической игры более высокого уровня сложности.

В заключение еще несколько примеров «неподдающихся» номеров:

59-58; 47-73; 47-97; 27-37.

FB